Образование

Кафедра геометрии обеспечивает геометрическое образование студентов в рамках всех специальностей: механика, математика, прикладная математика, информатика.

Студентам первого года обучения предлагается курс аналитическая геометрия (семестры 1 и 2), который включает в себя следующие темы: векторная алгебра, векторное уравнение траектории движущейся точки, уравнения прямых и плоскостей, взаимное расположение прямых и плоскостей, кривые 2-го порядка и их канонические уравнения, поверхности 2-го порядка и их канонические уравнения, инварианты уравнения кривой и поверхности 2-го порядка относительно ортогональных преобразований координат, прямолинейные образующие на поверхностях 2-го порядка.

Студентам второго года обучения предлагается курс дифференциальной геометри (семестры 3 и 4), в рамках которого изучаются свойства кривих на плоскости и в пространстве, дается механическая интерпретация геометрических характеристик кривих, приложения формул Френе для описания движения твердого тела и нахождения вектора мгновенного вращения (вектора Дарбу), применение геометрических методов к выводу уравнения движения материальной точки. При изучении геометрии поверхностей студенты знакомятся с различными видами криволинейных координат, геометрическим анализом движения точки на искривленной поверхности, основами тензорного анализа.

Студенты изучают курс аналитической геометрии (1 и 2 семестр), основная цель которого состоит в систематическом овладении методом координат в приложении к евклидовой и аффинной геометрии, применении методов векторной и линейной алгебры для решения геометрических задач. В частности, задач взаимного расположения точек, прямых и плоскостей, обобщения понятий прямой и плоскости на многомерные пространства, аналитического изучения выпуклых множеств, описания движений (изометрий) плоскости и пространства. Второй семестр посвящен аналитическому исследованию кривых и поверхностей второго порядка, их каноническим уравнениям и способам приведения уравнения к каноническому виду. Вводится понятие инварианта и применение инвариантов для решения задачи классификации евклидовых, аффинных и проективных квадрик.

В курсе топологии (3-й семестр) на первом этапе студенты знакомятся с обще --топологическими понятиями, такими как: топологическое и метрическое пространство, аксиомы счетности, аксиомы отделимости, последовательности и сходимость в общих топологических пространствах, непрерывные отображения топологических пространств, гомеоморфизм и топологический инвариант. Определяются операции суммы, склейки, произведения топологических пространств, перехода к подпространству и фактор-пространству топологического пространства. Рассматриваются такие свойства топологических пространств как компактность, связность, линейная связность и связанные с ними топологические инварианты. На втором этапе вводится понятие многообразия, связной суммы многообразий, эйлеровой характеристики и ориентации двумерных многообразий, топологическая классификация двумерных замкнутых компактных многообразий. Изучаются некоторые понятия из алгебраической топологии: гомотопии путей и фундаментальная группа, сингулярные и клеточные гомологии двумерных многообразий. Рассматриваются теоремы о вложении и погружении компактных многообразий в евклидово пространство.

В курсе дифференциальной геометрии (4-й и 5-й семестры) систематически изучается геометрия вложенных кривых и поверхностей в 3-х мерном евклидовом пространстве (классическая дифференциальная геометрия). В разделе «Теория кривых» определяются кривизна и кручение кривой как полный набор инвариантов, которые однозначно с точностью до движения определяют кривую, рассматриваются некоторые вопросы геометрии кривых в целом, аналитические задачи теории огибающих. В разделе «Теория поверхностей» главное внимание уделяется нахождению инвариантов параметризации поверхности, как величин, связанных с геометрией самой поверхности и не зависящих от способа ее задания. В содержание курса входят теорема Egregium Гаусса, уравнения Гаусса и Кодацци, теорема Бонне, формула Гаусса-Бонне, интегральная формула Гаусса.

В развитие теории плоских кривых, рассматриваются вопросы теории кривых на искривленных поверхностях. Рассматриваются специальные виды кривых на поверхностях: линии кривизны, асимптотические и геодезические линии. Элементы вариационного исчисления используются для исследования экстремальных свойств геодезических линий и минимальных поверхностей.

К элементам анализа и римановой геометрии относятся понятия ковариантного дифференциала и ковариантной производной векторного поля, параллельного перенесения Леви-Чивита, лапласиан и градиент гладкой функции на многообразии, основы тензорного анализа включая тензор кривизны римановой связности.

К дисциплинам дальнейшей специализации по кафедре геометрии (6-10 семестры) относятся:

классические задачи геометрии в целом, риманова геометрия, геометрия подмногообразий, дифференциальная геометрия с MAPLE, алгебраическая топология, геометрия групп Ли, основы аффинной дифференциальной геометрии (квалификационный уровень «бакалавр»);

однородные и симметрические пространства, потоки средней кривизны, векторные расслоения, потоки Риччи, глобальная риманова геометрия, геометрические основы физики (квалификационный уровень «магистр»).

Студенты изучают курс алгебра и геометрия (1 и 2 семестр), в рамках которого кафедра реализует геометрическую часть курса. Рассматриваются вопросы векторной алгебры и основы теории линейных пространств, уравнения прямых и плоскостей в 3-мерном и многомерном евклидовых пространствах, взаимное расположение прямых и плоскостей. В качестве приложений методов векторной алгебры, рассматриваются вопросы аналитического описания выпуклых множеств, теорема Хана-Банаха об отделимости выпуклых множеств. В качестве приложений метода координат, рассматриваются теоремы Шаля о классификации движений плоскости и пространства. Методы линейной алгебры используются для классификации евклидовых квадрик и исследования их общих свойств.

В курсе топологии (3-й семестр) на первом этапе студенты знакомятся с обще топологическими понятиями, такими как: топологическое и метрическое пространство, аксиомы счетности, аксиомы отделимости, последовательности и сходимость в общих топологических пространствах, непрерывные отображения топологических пространств, гомеоморфизм и топологический инвариант. Определяются операции суммы, склейки, произведения топологических пространств, перехода к подпространству и фактор-пространству топологического пространства. Рассматриваются такие свойства топологических пространств как компактность, связность, линейная связность и связанные с ними топологические инварианты. На втором этапе вводится понятие многообразия, связной суммы многообразий, эйлеровой характеристики и ориентации двумерных многообразий, топологическая классификация двумерных замкнутых компактных многообразий.

В курсе дифференциальной геометрии (4-й и 5-й семестры) изучаются фундаментальные и прикладные вопросы дифференциальной геометрии гривых и поверхностей в 3-х мерном евклидовом пространстве. В разделе «Теория кривых» определяются кривизна и кручение кривой как полный набор инвариантов, которые однозначно с точностью до движения определяют кривую, задачи описания движения материальной точки, задачи нахождения огибающих волновых фронтов, каустик плоских кривых. В разделе «Теория поверхностей» помимо фундаментальных вопросов геометрии поверхностей, таких как гауссова и средняя кривизна, теорема Бонне, формула Гаусса-Бонне, интегральная формула Гаусса рассматриваются геометрические свойства некоторых классов поверхностей, имеющих прикладное значение: линейчатые, трубчатые, конические и цилиндрические поверхности, поверхности переноса, поверхности вращения, минимальные поверхности, поверхности постоянной кривизны, эквидистантные поверхности. Курс содержит так же элементы тензорного анализа.

К дисциплинам дальнейшей специализации по кафедре геометрии (6-10 семестры) относятся:

Основы математических вычислений в система “Matehematica”, растровая и векторная графика, риманова геометрия с MAPLE, компьютерная томография, алгоритмы компьютерной геометрии, аналитические методы геометрического моделирования, геометрия групп Ли (квалификационный уровень «бакалавр»);

создание пакетов расширения и надстроек для систем инженерной компьютерной графики, основы математического моделирования и вычислительного эксперимента, компьютерная графика и САПР, потоки средней кривизны и обработка изображений, потоки Риччи, глобальная риманова геометрия, геометрические методы обработки изображений (квалификационный уровень «магистр»)

Кафедра осуществляет подготовку студентов по курсу «Алгебра и геометрия» (1-й и 2-й семестр). Программа курса включает: изучение основных алгебраических структур -- поля, кольца, группы; основы линейной алгебры – матрицы, определители, системы линейных уравнений; элементы аналитической геометрии – прямые, плоскости, кривые и поверхности 2-го порядка, инварианты; комплексные числа и многочлены; линейные пространства, билинейные функционалы и формы; евклидовы и унитарные линейные пространства; линейные операторы в аффинных, евклидовых и унитарных пространствах; аффинные и проективные преобразования.

Дальнейшее геометрическое образование студенты могут получить на дисциплинах специализации: символьные вычисления, основы дифференциальной геометрии, математические основы компьютерной томографии, математические методы обработки изображений.